คณิตศาสตร์ (ยุคคลาสสิก)



คณิตศาสตร์

คริสต์ศตวรรษที่ 17 และ 18 (ยุคคลาสสิก)

·         ค.ศ. 1665 - ไอแซก นิวตัน พิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส และสร้างแคลคูลัสขึ้นมาเพื่อแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ในฟิสิกส์ โดยนิวตันเรียกแคลคูลัสว่า วิธีแห่งการเปลี่ยนแปลง

·         ค.ศ. 1671 - เจมส์ เกรกอรี คิดค้นอนุกรมอนันต์ในการแทนฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ซึ่งเป็นอนุกรมอนันต์ที่มีการนำไปประยุกต์ใช้อย่างแพร่หลาย เช่น นำไปใช้คำนวณค่า π,

·         ค.ศ. 1673 - กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ประดิษฐ์แคลคูลัสของเขาเองโดยไม่ขึ้นกับของนิวตัน แคลคูลัสของไลบ์นิซนั้นมีรากฐานมาจากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์โดยตรงซึ่งต่างจากนิวตันที่มีรากฐานมาจากการประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง โดยประเด็นที่ว่าใครเป็นผู้คิดค้นแคลคูลัสเป็นคนแรกนั้นถูกถกเถียงกันมานานนับศตวรรษ ชื่อ แคลคูลัส มาจากฝั่งของไลบ์นิซ นอกจากนั้นสัญลักษณ์ทางแคลคูลัสในคณิตศาสตร์ปัจจุบันเราก็ใช้ของไลบ์นิซ เนื่องจากเป็นสัญลักษณ์ที่ช่วยให้จดจำกฎต่างๆ ของแคลคูลัสได้ง่ายกว่าในที่สุดจึงได้รับเป็นบิดาแห่งวิชาแคลคูลัส (ในทำนองเดียวกันกับ สัญลักษณ์ของดิแรกในกลศาสตร์ควอนตัม)

·         ค.ศ. 1675 - ไอแซก นิวตัน คิดค้นการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเพื่อหาคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น เรียกว่าวิธีของนิวตัน หรือ วิธีของนิวตันและราฟสัน เนื่องจากเวลาต่อมานักคณิตศาสตร์ชื่อราฟสันก็คิดค้นวิธีเดียวกันนี้ได้โดยไม่ขึ้นกับนิวตัน,

·         ค.ศ. 1691 - กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ คิดค้นเทคนิคในการแยกตัวแปรของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ,

·         ค.ศ. 1696 - กุยลอมเมอ เดอ โลปิตาล (ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของโยฮัน เบอร์นูลลี ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของไลบ์นิซอีกที) ได้คิดค้นกฎของโลปีตาล ในการคำนวณหาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป 0/0

·         ค.ศ. 1696 - โยฮัน เบอร์นูลลี หาคำตอบในปัญหา brachistochrone problem ได้สำเร็จและเป็นจุดเริ่มต้นของแคลคูลัสของการแปรผัน

·         ค.ศ. 1712 - บรู๊ค เทย์เลอร์ พัฒนาอนุกรมเทย์เลอร์ได้สำเร็จ

·         ค.ศ. 1722 - อับราฮัม เดอ มอยเร ได้แสดง De Moivre's theorem ซึ่งทำให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันของตรีโกณมิติและจำนวนเชิงซ้อน

·         ค.ศ. 1730 - เจมส์ สเติรริง ตีพิมพ์ The Differential Method

·         ค.ศ. 1733 - อับราฮัม เดอ มอยเร นำ การกระจายตัวแบบปกติในการประมาณค่าของการกระจายตัวแบบทวินามของนิวตัน(โดยคันพบจากสามเหลี่ยมปาสคาล)ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

·         ค.ศ. 1734 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คิดค้น integrating factor technique ในการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง,

·         ค.ศ. 1736 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ แก้ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก ได้สำเร็จและส่งผลให้ทฤษฎีกราฟกำเนิดขึ้นมาเป็นสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์,

·         ค.ศ. 1739 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คิดวิธีมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นแบบเอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่ได้สำเร็จ,

·         ค.ศ. 1761 - โทมัส เบย์ ได้สร้างทฤษฎีบทของเบย์ขึ้นมาในทฤษฎีความน่าจะเป็น,

·         ค.ศ. 1762 - โจเซพ หลุยส์ ลากรองช์ คิดค้น divergence theorem,

·         ค.ศ. 1796 - คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ พิสูจน์ว่า รูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนเท่านั้น ซึ่งนับเป็นการต่อยอดความรู้กรีกที่นิ่งมาราว 2000 ปีได้สำเร็จ,

·         ค.ศ. 1796 - เอเดรียน-แมรี เลอจองด์ ให้ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ,

·         ค.ศ. 1799 - คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ให้บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต ที่บอกว่า ทุกๆ สมการพหุนามจะมีคำตอบในรูปจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงบทบาทที่สำคัญที่สุดของจำนวนเชิงซ้อนในพีชคณิต

อ้างอิง http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C
วันที่ 06/09/56

แบร์นฮาร์ด รัมันน์

แบร์นฮาร์ด รัมันน์

(Bernhard Riemann)

ประวัติ
รัมันน์เกิดที่ Breselenz ใน Hanover ประเทศเยอรมนี บิดาเป็นนักบวชนิกายลูเธอร์แลนด์ รัมันน์เป็นคนสงบเสงี่ยมและขี้โรค ถึงแม้ว่าฐานนะทางบ้านของรีมันน์จะไม่ดีนัก แต่ก็ได้รับการศึกษาอย่างดีเยี่ยม ท่านเริ่มศึกษาเทวศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Gottingen แล้วเปลี่ยนเป็นนักคณิตศาสตร์ ศึกษาอยู่ที่นี่เพียง 1 ปี ็ย้ายไปเป็นลูกศิษย์ของ Dirichlet ที่มหาวิทยาลัย Berlin 2 ปีต่อมาท่านกลับไปศึกษาที่มหาวิทยาลัย Gottingen และได้รับปริญญาเอกเมื่อปี ค.ศ.1851
          ในปี ค.ศ.1854 ท่านได้รับแต่งตั้งเป็นผู้บรรยายที่มหาวิทยาลัย Gottingen โดยไม่ได้เงินเดือน ต่อมาเมื่อ Gauss ซึ่งเป็นศาสตราจารย์ที่ Gottingen ถึงแก่กรรม Dirichlet ได้เป็นศาสตราจารย์ที่ Gottingen และสนับสนุนรีมันน์ให้ได้รับตำแหน่งผู้ช่วยศาสตราจารย์ และเมื่อ Dirichlet ถึงแก่กรรมในปี 1859 รัมมันน์ ก็ได้รับตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์ รีมันน์ถึงแก่กรรมในปี 1866 เนื่องจากเป็นวัณโรคที่ภาคเหนือของอิตาลี
ผลงาน
          พัฒนาทฤษฎีบทฟังก์ชันเชิงซ้อน
           เสนอมโนมติเกี่ยวกับ Riemann surface ซึ่งนำทอพอโลยีมาใช้ในการวิเคราะห์
           พัฒนามโนมติของอินทิกรัลอย่างแจ่มชัด ซึ่งมีชื่อเรียกในปัจจุบันว่า Riemann integral
           เสนอสัจพจน์ที่เป็นรากฐานของเรขาคณิตและแสดงข้อแตกต่างระหว่างการต่อไปเรื่อยๆ และความยาวไม่จำกัดของเส้นและระนาบ ก่อให้เกิดเรขาคณิตแนวใหม่ชื่อ Riemann geometry หรือ Elliptic Geometry
           คิดทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ
 อ้างอิง http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/lopburi/piyawan_t/history/sec02p04.htm
วันที่ 06/09/56



แบลส ปาสกาล

(Blaise Pascal)

ประวัติ
ปาสกาลเกิดที่เมือง Chermont มณฑล Auvergne ประเทศฝรั่งเศส เมื่อวันที่ 16 มิถุนายน ค.ศ.1623 บิดาเป็นนักคณิตศาสตร์และผู้พิพากษา ปาสคาลไม่ใช่ผู้พัฒนาภาษาคอมพิวเตอร์ที่ชื่อภาษาปาสกาล ช่วงที่ปาสกาลยังมีชีวิตอยู่มีระยะเวลากว่า 300 ปีก่อนที่จะมีคอมพิวเตอร์ ดร.เวียต ผู้พัฒนาภาษาปาสกาลได้ตั้งชื่อภาษาให้เป็นเกียรติแก่ปาสกาล ทั้งนี้เพราะปาสกาลเป็นคณิตศาสตร์ผู้หนึ่งในยุคการพัฒนาวิชาคณิตศาสตร์ในช่วงศตวรรตที่ 16 - 17
           ปาสกาลเป็นผู้มีจินตนาการและความคิดที่กว้างไกล ปาสกาลแสดงความเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็ก ปาสคาลได้ศึกษาแนวคิดของยุคลิดในเรื่อง Elements ในช่วงอายุยังวัยเยาว์ เขาทำความเข้าใจหลักและทฤษฎีหลายอย่างของยูคลิดได้ก่อนอายุ 12 ปี  เมื่ออายุได้ 12 ปี ท่านพัฒนาเรขาคณิตเบื้องต้นด้วยตนเอง เมื่ออายุได้ 14 ปี ท่านเข้าร่วมประชุมกับนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส ซึ่งต่อมานักคณิตศาสตร์กลุ่มนี้สถาปนา French Academy ในปี ค.ศ.1666 เมื่ออายุได้ 16 ปี ท่านไดัพัฒนาทฤษฎีบทที่สำคัญในวิชาเรขาคณิตโพรเจกทีฟและได้เสนอผลงานวิจัยในบทความที่เขานำเสนอได้แก่ Essay on Conic Sections ซึ่งเป็นเรื่องราวเกี่ยวกับรูปตัดกรวยที่แสดงการวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตและคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง และเมื่ออายุได้ 19 ปี ท่านได้พัฒนาเครื่องคิดเลข
          น่าเสียดายที่หลังอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านหันความสนใจไปทางศาสนาและปรัชญา ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่ง

ผลงาน
           งานเขียน Essay pour les coniques (1640) ซึ่งสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรขาคณิตโพรเจกทีฟ ที่ท่านได้พัฒนามาก่อนแล้วเมื่ออายุได้ 16 ปี
           งานเขียน Traite du triangle arithmetique (1665) ซึ่งเกี่ยวกับ Chinese triangle หรือในอดีต นิยมเรียกว่า Pascal triangle เพราะคิดว่า Pascal เป็นผู้คิดขึ้นคนแรก แต่แท้ที่จริงแล้วชาวจีนได้พัฒนามาก่อนแล้ว
           ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นในปี ค.ศ.1654 ร่วมกับ Fermat โดยใช้วิธีที่แตกต่างกัน
           ศึกษาเส้นโค้ง cycloid

อ้างอิง http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/lopburi/piyawan_t/history/sec02p04.htm
วันที่ 06/09/56



ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์



ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์

(Pierre de Fermat)

ประวัติ
แฟร์มาต์ เกิดในวันที่  17  สิงหาคม  ค.ศ. 1601  ใกล้เมือง Toulouse ประเทศฝรั่งเศส  และถึงแก่กรรมที่เมือง  Castres  ในปี  ค.ศ.1665 แฟร์มาต์เป็นบุตรชายของพ่อค้าขายเครื่องหนังผู้มั่งคั่งคนหนึ่งของฝรั่งเศส ในวัยเด้กศึกษาอยู่กับบ้าน แฟร์มาต์มีอาชีพเป็นนักกฎหมาย เมื่ออายุ 30 ปี ได้รับแต่งตั้งให้เป็นที่ปรึกษากฎหมายขององค์การบริหารส่วนท้องถิ่นของเมือง Toulouse ท่านใช้เวลาว่างศึกษาค้นคว้าคณิตศาสตร์ เป็นสื่อกลางในการติดต่อกับนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในสมัยนั้น แฟร์มาต์มีส่วนในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในหลายสาขา  นับได้ว่าเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคของการพัฒนาศิลปวิทยา
 ผลงาน
          ริเริ่มวิธีหาเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง หาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน (Method for determining Maxima and Minima and Tangents of Curved Lines) ซึ่งเป็นรากฐานในวิชาแคลคูลัสต่อมา
          ริเริ่มพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ ในระยะเวลาใกล้กันกับเดส์การ์ตส์ โดยเน้นการวิเคราะห์พื้นผิวและรูปทรงต่าง ๆ โดยเขียนหนังสือเกี่ยวกับเรขาคณิตนี้ใช้ชื่อหนังสือว่า Introduction to Plane and Solid Loci
          ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นร่วมกับปาสคาล
          พัฒนาทฤษฎีบทต่างๆ ในทฤษฎีจำนวน เช่น
                 Fermat's two square theorem : ทุกจำนวนเฉพาะในรูป 4n + 1 สามารถเขียนในรูปผลบวกของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้คู่หนึ่งและคู่เดียวเท่านั้น
                 Fermat's theorem : ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า p หาร ลงตัว
          งานที่มีชื่อเสียงและเป็นที่กล่าวถึงของนักคณิตศาสตร์และชนรุ่นหลังอย่างมาก คือ แฟร์มาต์ได้เสนอทฤษฎีที่เรียกว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

 การหาค่าสูงสุด ต่ำสุด ของแฟร์มาต์

          วิธีการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของแฟร์มาต์ ได้ดัดแปลงมาจากความคิดของเคปเลอร์ที่ว่า "ในย่านที่ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ค่าของฟังก์ชันจะแตกต่างกันเล็กน้อย จนส่วนที่เปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเกือบเป็นศูนย์" โดยมีวิธีการดังนี้
          ขั้นที่ 1 ใช้อักษรที่เป็นสระแทนตัวแปรและใช้พยัญชนะแทนตัวคงที่ แล้วเขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกับตัวคงที่จากโจทย์ที่กำหนดให้
          ขั้นที่ 2 ถ้าใช้ A เป็นตัวแปรแล้ว แทน A ด้วย A - E ในความสัมพันธ์จากขั้นที่ 1 (เมื่อ E เป็นตัวแปรแทนจำนวนน้อยๆ)
          ขั้นที่ 3 ให้ความสัมพันธ์ในขั้นที่ 1 และ 2 เท่ากัน
          ขั้นที่ 4 หารด้วย E แล้วตัดเทอมที่มี E ทิ้งไป จะได้คำตอบตามต้องการ

          

ตัวอย่าง

จงแบ่งจำนวนหนึ่งที่กำหนดให้เป็นสองจำนวนโดยให้ผลคูณมากที่สุด

          วิธีทำ    ให้      B      เป็นจำนวนที่กำหนดให้
                               A      เป็นจำนวนหนึ่งที่แบ่งมาจาก B
                      ดังนั้น  B - A เป็นอีกจำนวนหนึ่ง
                      จะได้ผลคูณ คือ A(B - A)                                                   .......................(1)
                      แทน A ด้วย A - E จะได้ผลคูณเป็น (A - E) [B - (A - E)]          .......................(2)
                      ให้ (1) = (2)
                                A(B - A)          = (A - E) [B - (A - E)]
                                AB - A²            = AB - A² - EB + 2AE - E²
                                           BE - 2AE + E²   = 0                                               ........................(3)
                       หารด้วย E จะได้ B - 2A + E  =  0                                      ........................(4)
                       ให้ E = 0 จะได้  B - 2A  = 0                                                            ........................(5)
                                                     A  =  
                        ดังนั้น  จะต้องแบ่งเป็นสองจำนวนเท่าๆ กัน จึงจะได้ผลคูณมากที่สุด



เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

(Leonhard Euler)



ประวัติ

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวสวิส  เขาได้ชื่อว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งเท่าที่เคยมี เกิดวันที่ 15 เมษายน ค.ศ.1707 ที่เมือง Basel ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ เขาเป็นเด็กที่มีความเป็นอัจริยะทางคณิตศาสตร์ และได้ศึกษาคณิตศาสตร์กับ Johann Bernoulli ท่านได้รับปริญญาตรีเมื่ออายุ 16 ปี และปริญญาโททางปรัชญา เมื่ออายุ 18 ปี ท่านทำงานวิจัยทางคณิตศาสตร์ ในปี ค.ศ.1727 ท่านรับตำแหน่งหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ที่ St. Petersburg Academy of Sciences (ในรัสเซีย) ซึ่งสถาปนาโดย ซาร์ปีเตอร์มหาราช 14 ปีต่อมาท่านไปเป็นผู้อำนวยการ Prussian Academy ตามคำเชิญของเอมเปอเรอร์เฟรเดอริกมหาราช ท่านทำงานในตำแหน่งนี้ 25 ปี จึงกลับไปที่ St. Petersburg อีกและอยู่ที่นั้นจนถึงแก่กรรม ในวันที่ 18 กันยายน ค.ศ.1783 อายุ 76 ปี

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์  เป็นคนแรกที่ใช้คำว่า  "ฟังก์ชัน"  (ตามคำนิยามของไลบ์นิซ  ใน  ค.ศ.1694)  ในการบรรยายถึงความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร  เช่น  y  =  F(x)  เขายังได้ชื่อว่าเป็นคนแรกที่ประยุกต์แคลคูลัสเข้าไปยังวิชาฟิสิกส์

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เป็นนักคณิตศาสตร์มีผลงานมากมายที่สุดคนหนึ่ง ผลงานทั้งหมดของเขารวบรวมได้ถึง  75  เล่ม  ผลงานของเขามีอิทธิพลอย่างมากต่อผลงานทางคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่  18  เขาต้องสูญเสียการมองเห็นและตาบอดสนิทตลอด  17  ปีสุดท้ายในชีวิตของเขา  ซึ่งในช่วงนี้เองที่เขาสามารถผลิตผลงานได้ถึงเกือบครึ่งหนึ่งของผลงานทั้งหมดของเขา

ผลงาน

          ริเริ่มวิชาทอโพโลยี โดยแก้ปัญหาสะพานของเมือง Konigsberg
          เขียนตำราแคลคูลัส (1755, 1768 - 74) ซึ่งเป็นตำราที่ใช้เป็นต้นแบบของตำราแคลคูลัสเล่มอื่นๆ ในสมัยต่อมา
          เขียนตำราชื่อ Introduction in Analysis Infinitorum (1748) ผลงานส่วนใหญ๋เกี่ยวข้องกับอนุกรมอนันต์ และเรขาคณิตวิเคราะห์ จุดเด่น คือ การพัฒนาตรีโกณมิติโดยใช้วิธีของแคลคูลัส ทำให้ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของ Analysis แทนที่จะเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิต
          คิดสัญกรณ์ f(x) , e , , i ,
          คิดสูตร  
          คิดทฤษฎีบท Euler's theorem และ Euler - function
          แนะนำ beta และ gamma function ในวิชา Advanced Calculus
          ใช้ integrating factor ในการแก้สมการดิฟเฟอเรนเชียล

ปัญหาสะพานเคอนิกส์เบอร์ก 

ปัญหาที่น่าขบคิดในเรื่องสะพานเคอนิกส์เบอร์ก ที่น่าสนใจมี
          ปัญหาที่ 1. ให้เขียนเส้นทางเดินทางบนกระดาษ โดยการเดินทางนี้จะต้องเดินทางข้ามสะพานทุกสะพานโดยไม่ซ้ำกัน และข้ามแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้น  
          ปัญหาที่ 2. สมมุติว่ามีสะพานข้ามแม่น้ำน้อยลง โดยสะพานมีดังรูป





 ลองทำการลากเส้นทางเดินโดยการข้ามสะพานเพียงสะพานละครั้งเดียว

          ปัญหาที่ 3. การข้ามสะพานนี้ จะขึ้นอยู่กับการนำสะพานใดสะพานหนึ่งออกหรือไม่ และถ้าเราเพิ่มสะพานเข้าไปอีกจะเกิดอะไรขึ้น ลองทดลองวางแผนการข้ามสะพานจากที่วาดใหม่บนแผนที่ที่มีสะพานเพิ่มขึ้น  

                                                                          

 การแก้ปัญหาของออยเลอร์

          ออยเลอร์ เสนอวิธีการแก้ปัญหานี้โดยการแทนพื้นดิน แต่ละแห่งเป็นจุดซึ่งเรียกว่าจุดเชื่อมโยง (Vertices) และเรียกสะพานซึ่งเป็นการเชื่อมระหว่างจุดเหล่านี้ว่า เส้นเชื่อมโยงระหว่างจุด (arcs) ดังนั้นสะพานเคอนิกส์เบอร์กจึงเขียนแทนด้วยเส้นข้ามสะพานระหว่าง Vertices กับ arcs

  

  เมื่อเขียนเส้นเชื่อมระหว่างจุด ปัญหาสะพานทั้งเจ็ด มีลักษณะเป็นกราฟ ดังรูป 

ปัญหานี้จึงอยู่ที่การลากเส้นด้วยดินสอโดยการเขียนเส้นโดยไม่ต้องยกดินสอออกจากกระดาษ โดยแต่ละเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดจะมีการลากผ่านเพียงครั้งเดียว สังเกตว่ามีจุด 4 จุด และมีด้าน (arc) อยู่ทั้งหมดเป็นเลขคี่ (ในนี้มี 7 arcs) เริ่มจากจุดใดจุดหนึ่งแล้วลากตามเส้น เพื่อให้ผ่านเส้นครั้งเดียว ลองทดลองดูจะเห็นว่าไม่สามารถทำได้