ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย

(Euclid of Alexandria)

ประวัติ

  ยุคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญและเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงแพร่หลายในรัชสมัยโตเลมีที่ 1 ยุคลิดเป็นชาวกรีซ เกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอียิปต์  ศึกษาที่สถาบันของ Plato ที่กรุงเอเธนส์ ท่านได้รับแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์และหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์คนแรกที่มหาวิทยาลัยอะเล็กซานเดรีย ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยแห่งแรกในโลก ตั้งขึ้นประมาณ 300 ปี ก่อนคริสต์ศักราช และใช้ชีวิตอยู่ ณ มหาวิทยาลัยแห่งนี้เป็นเวลานาน

          หลักฐานและเรื่องราวเกี่ยวกับตัวยุคลิดยังคงสับสน เพราะมีผู้เขียนไว้หลายรูปแบบ อย่างไรก็ตามผลงานเรื่อง The Elements ยังคงหลงเหลืออยู่จนถึงทุกวันนี้ จากหลักฐานที่สับสนทำให้สันนิษฐานที่เกี่ยวกับยุคลิดมีหลายแนวทาง เช่น ยูคลิดเป็นบุคคลที่เขียนเรื่อง The Element หรือ ยุคลิดเป็นหัวหน้าทีมนักคณิตศาสตร์ที่อาศัยอยู่ที่อเล็กซานเดรีย และได้ช่วยกันเขียนเรื่อง The Elements อย่างไรก็ดีส่วนใหญ่ก็มั่นใจว่ายูคลิดมีตัวตนจริงและเป็นปราชญ์อัจฉริยะทางด้านคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตในยุคกว่า 2,000 ปี

ผลงาน
          ผลงานสำคัญของยุคลิดคือการเขียนตำราทางคณิตศาสตร์และดาราศ่าสตร์ ผลงานบางชิ้นได้สูญหายไปแล้ว เช่น งานเขียนเกี่ยวกับภาคตัดกรวยที่ยุคลิดรวบรวมมาจากการค้นคว้าของอริสเตอุส ซึ่งเป็นนักเรขาคณิตยุคเดียวกับยุคลิด ผลงานของยุคลิดที่ยังคงอยู่ในปัจจุบันมี 5 ชิ้น คือ Division of Figures , Data , Phaenomena , Optic และ Elements
          Division of Figures กล่าวถึงการแบ่งรูปในระนาบ ประกอบด้วยทฤษฎีบท 36 บท เช่น ทฤษฎีบทที่ 1 ว่าด้วยการสร้างเส้นตรงให้ขนานกับฐานของสามเหลี่ยมและแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็น 2 ส่วน โดยมีพื้นที่เท่ากัน เป็นต้น
          Data เปรียบได้กับคู่มือการสอนที่ใช้ควบคู่กับอิลิเมนต์ 6 เล่มแรก เนื้อหาสาระจึงเน้นที่การชี้แนะวิธีวิเคราะห์ปัญหาทางเรขาคณิต
          Phaenomena กล่าวถึงเรขาคณิตบนทรงกลม
          Optic กล่าวถึงการศึกษาเกี่ยวกับปรากฎการณ์ของแสง
          Elements เป็นผลงานที่มีชื่อเสียงที่สุด และได้รับการกล่าวขวัญว่าเป็นตำราที่สำคัญที่สุดเล่มหนึ่งในประวัติของมนุษยชาติ โดยถ้าไม่นับไบเบิลแล้ว อาจกล่าวได้ว่าไม่มีหนังสือเล่มใดจะมีอิทธิพลต่อวิถีชีวิตของมนุษย์และถูกใช้อย่างกว้างขวางเท่ากับ Elements ประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่ม และทฤษฎีบท 465 ทฤษฎีบท เป็นต้นแบบของตำราคณิตศาสตร์ โดยใช้วิธีนิรนัย (deduction) เนื้อหาส่วนใหญ่จะเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบยุคลิด แต่ก็มีเนื้อหาคณิตศาสตร์อื่นๆ ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีจำนวน

 ลักษณะสำคัญของหนังสืออิลิเมนต์

          หนังสืออิลิเมนต์ถือว่าเป็นต้นแบบของระบบคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน กล่าวคือ ในหนังสืออิลิเมนต์ ยุคลิดได้กำหนดข้อตกลงขึ้น 10 ประการ 5 ประการแรกยุคลิดเรียกว่า สัจพจน์ (axioms) หรือ คอมมอนโนชัน (common notions) ซึ่งหมายถึงสิ่งที่เห็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ในวิทยาการทุกแขนง ส่วน 5 ประการหลัง ยุคลิดเรียกว่า พอสจูเลต (postulates) หมายถึง สิ่งที่เห็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ทางเรขาคณิต ข้อตกลงทั้ง 10 ประการมีดังน
                  A1 : สิ่งทั้งหลายที่เท่ากับสิ่งเดียวกัน สิ่งเหล่านั้นย่อมเท่ากัน
                  A2 : สิ่งที่เท่ากัน เมื่อถูกเพิ่มด้วยสิ่งที่เท่ากัน ผลย่อมเท่ากัน
                  A3 : สิ่งที่เท่ากัน เมื่อถูกหักออกด้วยสิ่งที่เท่ากัน ผลย่อมเท่ากัน
                  A4 : สิ่งที่ทุกอย่างร่วมกัน ย่อมเท่ากัน
                  A5 : ส่วนรวมย่อมใหญ่กว่าส่วนย่อย
                  P1 : ลากเส้นตรงเส้นหนึ่งจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้
                  P2 : ต่อเส้นตรงที่ยาวจำกัดออกไปได้เรื่อยๆ
                  P3 : เขียนวงกลมได้เมื่อกำหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใดๆ
                  P4 : มุมฉากทุกมุมย่อมเท่ากัน
                  P5 : เมื่อลากเส้นตรงผ่านเส้นตรง 2 เส้น ทำให้มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันรวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก เส้นตรง 2 เส้นนั้นจะตัดกันทางด้านที่มีผลรวมน้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าต่อออกไปเรื่อยๆ
           จากข้อตกลงทั้ง 10 ประการ ยุคลิดสามารถสร้างทฤษฎีได้ถึง 465 ทฤษฎี โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า การสังเคราะห์ ด้วยการนำบทบัญญัติหรือทฤษฎีที่รู้แล้ว ประกอบกับการให้เหตุผลเชิงตรรกศาสตร์ ไปสร้างข้อสรุปหรือทฤษฎีใหม่ที่มีความซับซ้อนมากขึ้น ต่อจากนั้นจึงใช้วิธีการวิเคราะห์พิสูจน์ข้อสรุปหรือทฤษฎีบทใหม่นั้นว่าเป็นจริง
           ยุคลิดนิยามคำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ต้องใช้ในหนังสืออิลิเมนต์ทุกคำ เช่น คำว่า จุด เส้น ระนาบ เป็นต้น
           การพิสูจน์ที่ปรากฎในหนังสืออิลิเมนต์ ได้พยายามใช้หลักเกณฑ์อย่างเคร่งครัด นอกจากนี้การพิสูจน์ทฤษฎีบทบางบท จัดได้ว่าเป็นวิธีการให้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ที่สละสลวย จนถือเป็นแบบฉบับมาจนทุกวันนี้ เช่น การพิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะมีจำนวนไม่จำกัด

 หนังสืออิลิเมนต์

          หนังสืออิลิเมนต์ของยุคลิดมีทั้งหมด 13 เล่ม ส่วนใหญ่เป็นเนื้อหาทางเรขาคณิต แต่ก็มีการกล่าวถึงทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเบื้องต้น เนื้อหาส่วนใหญ่เป็นผลงานของผู้อื่น เช่น ปีทาโกรัสและสานุศิษย์ของท่าน ฮิปโปเครติสแห่งคิโอส ยูโดซุส่แห่งซีนิดัส และธีโอดอรัส เป็นต้น ยุคลิดได้นำผลงานของนักปราชญ์ในสมัยก่อนๆ มารวบรวมเข้าอย่างเป็นระบบและเป็นลำดับเหตุผลต่อกัน เนื้อหาโดยสังเขปของอิลิเมนต์แต่ละเล่ม เป็นดังนี้
          เล่มที่ 1 รูปสามเหลี่ยม เส้นตั้งฉาก เส้นขนาน พื้นที่ของรูปเหลี่ยมต่างๆ และทฤษฎีบทปีทาโกรัส
          เล่มที่ 2 การแปลงพื้นที่ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต
          เล่มที่ 3 วงกลม คอร์ด และเส้นสัมผัส
          เล่มที่ 4 รูปหลายเหลี่ยมและวงกลม การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ
          เล่มที่ 5 สัดส่วน
          เล่มที่ 6 การนำแนวคิดเรื่องสัดส่วนมาใช้กับรูปคล้าย การสร้างสัดส่วนตัวที่ 3 สัดส่วนตัวที่ 4 สัดส่วนเฉลี่ย หรือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและการหาคำตอบของสมการกำลังสองโดยวิธีเรขาคณิต
          เล่มที่ 7 ทฤษฎีจำนวน : การจำแนกจำนวนเป็นจำนวนคู่ จำนวนคี่ จำนวนเฉพาะ และจำนวนสมบูรณ์ ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
          เล่มที่ 8 สัดส่วนต่อเนื่อง
          เล่มที่ 9 ทฤษฎีจำนวนต่อจากเล่มที่ 7 และ 8 ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเล่มนี้คือ "จำนวนเฉพาะมีจำนวนไม่จำกัด"
          เล่มที่ 10 จำนวนอตรรกยะ
          เล่มที่ 11 เรขาคณิต 3 มิติ ที่สมนัยกับเล่มที่ 1
          เล่มที่ 12 ระเบียบวิธีเกษียณ เพื่อใช้แสดงว่า พื้นที่ของวงกลม 2 วง เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนเส้นผ่านศูนย์กลาง
          เล่มที่ 13 ทรง 3 มิติปกติ

อ้างอิง http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/lopburi/piyawan_t/history/sec02p04.htm
วันที่ 06/09/56